广度优先搜索（BFS）

简述

广度优先搜索的英文简写是BFS(Breadth First Search)，属于图论中搜索算法中的一种，它所遵循的搜索策略是尽可能“广”地搜索图。下面我们通过和DFS同样的小例子来认识什么是BFS。

预备知识：队列

队列是一种特殊的线性表，是一种数据结构，它的特殊之处在于它只允许在表的前端（front）进行删除操作，而在表的后端（rear）进行插入操作，和栈一样，队列是一种操作受限制的线性表。进行插入操作的端称为队尾，进行删除操作的端称为队头。队列中没有元素时，称为空队列。 它最主要的特点是先进先出。

对队列进行的最常见的操作分别是：1、插入，2、删除。对队列的操作就好像一群人在排队，排在离柜台最近的人称之为“队头”，离柜台最远的人称之为“队尾”。每新来一个人需要排队(假设我们都是有素质的人，不插队)，新来的人应该排在队尾，对吧？这就是插入操作。而柜台的办公人员会给队头的人先办公，然后依次进行，队头的人被服务完，他便会离开，这就是删除操作。

如何在代码中定义队列？

• queue< int> q; 定义一个整型队列
• q.push(a);        将a元素插入到q队列的队尾
• q.pop();            将q队列的队头从队列中删除
• q.front()            q队列的队头元素
• q.back()            q队列的队尾元素
• q.size()             q队列的大小
• q.empty()          返回值是1代表队列是空，否则队列不为空

我们观察如下这个无向图

我们从A点发起广度优先搜索，像DFS那样，我们设A点是1号点，B点是2号点，同理：C是3、D是4、E是5、F是6。我们用一个q数组来记录我们访问的顺序，q[i]=j代表我们访问的第i个节点是第j号节点。同时定义一个队列queue，初始时queue是空队列。由于我们从A点开始进行BFS，所以q[1]=1，这时我们把A节点加入队列，也就是将1插入队列，对吧？接下来，我们要把与A相连的点都走一遍，分别是B和D，所以q[2]=2,q[3]=4。此当访问到B点和D点时，我们要把2和4分别插入队列，此时，我们把A节点的相邻节点都走过了，就将A节点从队列中删除，此时的队列应该是{1,2,4}，删除A之后，队列变成了{2,4},这时，我们依次走2号节点(队头节点)的相邻节点，只有A节点，而我们又走过A，所以不把A加入到队列中，我们把B节点从队列中删除，此时队列中剩下一个4号节点，我们接下来就走D节点的相邻节点，走过的不插入队列，没走过的节点要插入队列，于是，我们把C节点插入了队列，队列变成了{4,3}。此时，D节点的相邻节点也都访问完毕，便把D几点从队列中删除，取出新的队头节点--C节点，访问C节点的相邻且未走过的节点，如此往复，直到最后，队列变为空，我们得到的节点访问顺序如下：

• q[1]=1;
• q[2]=2;
• q[3]=4;
• q[4]=3;
• q[5]=5;
• q[6]=6;
  

也就是说,我们通过从A点进行DFS，遍历整个图所经过节点的顺序是：A、B、D、C、E、F。这和我们用DFS访问时得到的顺序是一样的，但是意义不同，只是因为这个图太过于简单，造成了巧合。

模版

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=100;
bool vst[maxn][maxn]; // 访问标记
int dir[4][2]= {0,1,0,-1,1,0,-1,0}; // 方向向量

struct State // BFS 队列中的状态数据结构
{
    int x,y; // 坐标位置
    int Step_Counter; // 搜索步数统计器
};
State a[maxn];

bool CheckState(State s) // 约束条件检验
{
    if(!vst[s.x][s.y] && ...) // 满足条件
        return 1;
    else // 约束条件冲突
        return 0;
}

void bfs(State st)
{
    queue <State> q; // BFS 队列
    State now,next; // 定义2 个状态，当前和下一个
    st.Step_Counter=0; // 计数器清零
    q.push(st); // 入队
    vst[st.x][st.y]=1; // 访问标记
    while(!q.empty())
    {
        now=q.front(); // 取队首元素进行扩展
        if(now==G) // 出现目标态，此时为Step_Counter 的最小值，可以退出即可
        {
            ...... // 做相关处理
            return;
        }
        for(int i=0; i<4; i++)
        {
            next.x=now.x+dir[i][0]; // 按照规则生成下一个状态
            next.y=now.y+dir[i][1];
            next.Step_Counter=now.Step_Counter+1; // 计数器加1
            if(CheckState(next)) // 如果状态满足约束条件则入队
            {
                q.push(next);
                vst[next.x][next.y]=1; //访问标记
            }
        }
        q.pop(); // 队首元素出队
    }
    return;
}

int main()
{
    ......
    return 0;
}

例题

例题1.hrbust 1012

题意：在一个数轴上，有一个农民位于$n$的位置处，有一头牛位于$k$的位置处，农民有三种走路方式：①若农民位于$x$，农民可以移动一步到$x-1$或$x+1$ ②若农民位于$x$，农民可以跳跃到$2*x$处。问：农民需要最少多少步抓住那头牛？
要求：Time Limit: 2000 MS , Memory Limit: 65536 K
思路：基本上是一道BFS的入门题，我们从农民的起点开始广搜，通过农民的三种移动方式($x-1$、$x+1$、$2*x$)来向队列中插入节点，广搜到牛的位置即可，具体细节看代码吧。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
const int MAX=200001;
int queue[MAX],vis[MAX];

///visit函数记录是否被访问过，并且
///表示需要第几步走到这个位置
bool check(int x){
    ///检查该点是否合法，合法的条件是在数轴上，
    ///且这个点没有被访问过
    if(x>=0&&x<MAX&&vis[x]==-1) return 1;
    else return 0;
}
int BFS(int start,int end){
    memset(vis,-1,sizeof(vis));

    int front=0,back=0,now;///定义队首和队尾
    queue[back++]=start;///在队尾插入一个元素
    vis[start]=0;///该点被访问，并且是走到这一步需要0步

    while(front<=back){
        now=queue[front++];///每次取队首元素
        if(now==end) return vis[end];///如果队首元素是要找的元素，返回结果
        if(check(now-1)){
            queue[back++]=now-1;///合法的点被插入到队尾
            vis[now-1]=vis[now]+1;///是由上一步走过来的，所以vis要+1
        }
        if(check(now+1)){
            queue[back++]=now+1;
            vis[now+1]=vis[now]+1;
        }
        if(check(now*2)){
            queue[back++]=now*2;
            vis[now*2]=vis[now]+1;
        }
    }
}
int main()
{
    int start,end;
    while(scanf("%d%d",&start,&end)!=EOF)
    printf("%d\n",BFS(start,end));
}

例题2.hrbust 1143

题意：有一个泉眼，由于当地的地势不均匀，有高有低，这个泉眼不断的向外溶出水来，这意味着这里在不久的将来将会一个小湖。水往低处流，凡是比泉眼地势低或者等于的地方都会被水淹没，地势高的地方水不会越过。而且又因为泉水比较弱，当所有地势低的 地方被淹没后，水位将不会上涨，一直定在跟泉眼一样的水位上。 所有的地图都是一个矩形，并按照坐标系分成了一个个小方格，Leyni知道每个方格的具体高度。我们假定当水留到地图边界时，不会留出地图外，现在他想通过这些数据分析出，将来这里将会出现一个多大面积的湖
要求：Time Limit: 1000 MS , Memory Limit: 65536 K
思路：

• DFS那一节的例题，用BFS可以做么？
• 答案是肯定的，可以！
• 每次check找一下合法的，放进队列里面，总共有多少个合法的就是最终答案！

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <queue>
#define maxn 1000 + 10


using namespace std;

int final;
int vis[maxn][maxn];
int map[maxn][maxn];
int s[maxn][maxn];
int m,n;

int move[4][2] = {{0,1}, {0,-1}, {1,0}, {-1,0}};

struct point
{
    int x,y;
};

bool check(point a)
{
    if( a.x >= 1 && a.x <= n && a.y >= 1 && a.y <= m && vis[a.x][a.y] == 0 && map[a.x][a.y] <= final)
        return true;
    return false;
}


int bfs(int x,int y)
{
    queue<point> que;
    point now, temp;
    int count = 1;
    now.x = x;
    now.y = y;
    que.push(now);
    vis[x][y] = 1;
    s[x][y] = 1;

    while(!que.empty())
    {
        temp = que.front();
        que.pop();
      if(s[temp.x][temp.y] == 1)
       {

            for( int i = 0; i < 4; i++)
            {
                now.x = temp.x + move[i][0];
                now.y = temp.y + move[i][1];
                if(check(now))
                {
                      que.push(now);
                      vis[now.x][now.y] = 1;
                      count++;
                      s[now.x][now.y] = 1;
                }
           }
        }
    }
    return count;
}


int main()
{
   int  p1,p2;
   while(scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &p1, &p2) != EOF)
   {
       memset(vis,0,sizeof(vis));
       memset(s,0,sizeof(s));

       for( int i = 1; i<= n; i++)
        for( int j = 1; j <= m ;j++)
            scanf("%d",&map[i][j]);
        final = map[p1][p2];
        printf("%d\n",bfs(p1,p2));

   }

}