SG函数
简述
想要学好博弈论，不只是要了解巴什博奕、威佐夫博奕等等典型的博弈问题，这些都只是基础，而SG函数，是我们想要走向博弈大师必须掌握的知识，接下来的分析，可能枯燥无味，但是真正看懂之后，会受益匪浅。
分析
现在我们来研究一个看上去似乎更为一般的游戏：给定一个有向无环图和一个起始顶点上的一枚棋子，两名选手交替的将这枚棋子沿有向边进行移动，无法移动者判 负。事实上，这个游戏可以认为是所有Impartial Combinatorial Games（公平组合游戏，以下简称ICG）的抽象模型。也就是说，任何一个ICG都可以通过把每个局面看成一个顶点，对每个局面和它的子局面连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”。下 面我们就在有向无环图的顶点上定义Sprague-Garundy函数。
首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、 mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 }。
来看一下SG函数的性质。首先，所有的terminal position所对应的顶点，也就是没有出边的顶点，其SG值为0，因为它的后继集合是空集。然后对于一个g(x)=0的顶点x，它的所有后继y都满足 g(y)!=0。对于一个g(x)!=0的顶点，必定存在一个后继y满足g(y)=0。
以上这三句话表明，顶点x所代表的postion是P-position当且仅当g(x)=0（跟P-positioin/N-position的定义的 那三句话是完全对应的）。我们通过计算有向无环图的每个顶点的SG值，就可以对每种局面找到必胜策略了。但SG函数的用途远没有这样简单。如果将有向图游 戏变复杂一点，比如说，有向图上并不是只有一枚棋子，而是有n枚棋子，每次可以任选一颗进行移动，这时，怎样找到必胜策略呢？
让我们再来考虑一下顶点的SG值的意义。当g(x)=k时，表明对于任意一个0<=i<k，都存在x的一个后继y满足g(y)=i。也就是 说，当某枚棋子的SG值是k时，我们可以把它变成0、变成1、……、变成k-1，但绝对不能保持k不变。不知道你能不能根据这个联想到Nim游戏，Nim 游戏的规则就是：每次选择一堆数量为k的石子，可以把它变成0、变成1、……、变成k-1，但绝对不能保持k不变。这表明，如果将n枚棋子所在的顶点的 SG值看作n堆相应数量的石子，那么这个Nim游戏的每个必胜策略都对应于原来这n枚棋子的必胜策略！
对于n个棋子，设它们对应的顶点的SG值分别为(a1,a2,...,an)，再设局面(a1,a2,...,an)时的Nim游戏的一种必胜策略是把 ai变成k，那么原游戏的一种必胜策略就是把第i枚棋子移动到一个SG值为k的顶点。这听上去有点过于神奇——怎么绕了一圈又回到Nim游戏上了。
其实我们还是只要证明这种多棋子的有向图游戏的局面是P-position当且仅当所有棋子所在的位置的SG函数的异或为0。这个证明与上节的 Bouton's Theorem几乎是完全相同的，只需要适当的改几个名词就行了。
刚才，我为了使问题看上去更容易一些，认为n枚棋子是在一个有向图上移动。但如果不是在一个有向图上，而是每个棋子在一个有向图上，每次可以任选一个棋子 （也就是任选一个有向图）进行移动，这样也不会给结论带来任何变化。
所以我们可以定义有向图游戏的和(Sum of Graph Games)：设G1、G2、……、Gn是n个有向图游戏，定义游戏G是G1、G2、……、Gn的和(Sum)，游戏G的移动规则是：任选一个子游戏Gi 并移动上面的棋子。Sprague-Grundy Theorem就是：g(G)=g(G1)^g(G2)^...^g(Gn)。也就是说，游戏的和的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。
再考虑在本文一开头的一句话：任何一个ICG都可以抽象成一个有向图游戏。所以“SG函数”和“游戏的和”的概念就不是局限于有向图游戏。我们给每个 ICG的每个position定义SG值，也可以定义n个ICG的和。所以说当我们面对由n个游戏组合成的一个游戏时，只需对于每个游戏找出求它的每个局 面的SG值的方法，就可以把这些SG值全部看成Nim的石子堆，然后依照找Nim的必胜策略的方法来找这个游戏的必胜策略了！
我们再看Nim游戏：有n堆石子，每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗，可以从第2堆石子里取奇数颗，可以从第3堆及以后石子里取任意颗……我们可 以把它看作3个子游戏，第1个子游戏只有一堆石子，每次可以取1、2、3颗，很容易看出x颗石子的局面的SG值是x%4。第2个子游戏也是只有一堆石子， 每次可以取奇数颗，经过简单的画图可以知道这个游戏有x颗石子时的SG值是x%2。第3个游戏有n-2堆石子，就是一个Nim游戏。对于原游戏的每个局 面，把三个子游戏的SG值异或一下就得到了整个游戏的SG值，然后就可以根据这个SG值判断是否有必胜策略以及做出决策了。其实看作3个子游戏还是保守了 些，干脆看作n个子游戏，其中第1、2个子游戏如上所述，第3个及以后的子游戏都是“1堆石子，每次取几颗都可以”，称为“任取石子游戏”，这个超简单的 游戏有x颗石子的SG值显然就是x。其实，n堆石子的Nim游戏本身不就是n个“任取石子游戏”的和吗？
所以，对于我们来说，SG函数与“游戏的和”的概念不是让我们去组合、制造稀奇古怪的游戏，而是把遇到的看上去有些复杂的游戏试图分成若干个子游戏，对于 每个比原游戏简化很多的子游戏找出它的SG函数，然后全部异或起来就得到了原游戏的SG函数，就可以解决原游戏了。
模版
- 计算从1-n范围内的SG值
/*
Array(存储可以走的步数，Array[0]表示可以有多少种走法)
Array[]需要从小到大排序
1.可选步数为1-m的连续整数，直接取模即可，SG(x)=x%(m+1);
2.可选步数为任意步，SG(x) = x;
3.可选步数为一系列不连续的数，用GetSG(计算)
*/
int SG[MAX],hash[MAX];
void init(int Array[],int n)
{
int i,j;
memset(SG,0,sizeof(SG));
for(i=0; i<=n; i++)
{
memset(hash,0,sizeof(hash));
for(j=1; j<=Array[0]; j++)
{
if(i<Array[j])
break;
hash[SG[i-Array[j]]]=1;
}
for(j=0; j<=n; j++)
{
if(hash[j]==0)
{
SG[i]=j;
break;
}
}
}
}
有些时候预处理出来所有的SG值会超时，而且有些SG值是用不到的，这时候我们会用到下面的模版，获得单独的一个SG值。
- 获得一个单独的SG值
int s[101],sg[10001],k; //k为可走步数，s数组存储可走步数（0~k-1）
int getsg(int m)
{
int hash[101]={0};
int i;
for(i=0; i<k; i++)
{
if(m-s[i]<0)
break;
if(sg[m-s[i]]==-1)
sg[m-s[i]]=getsg(m-s[i]);
hash[sg[m-s[i]]]=1;
}
for(i=0;; i++)
if(hash[i]==0)
return i;
}
例题
例题1.hdu 1848
题意：
- 这是一个二人游戏;
- 一共有3堆石子，数量分别是m, n, p个；
- 两人轮流走;
- 每走一步可以选择任意一堆石子，然后取走f个；
- f只能是菲波那契数列中的元素（即每次只能取1，2，3，5，8…等数量）；
- 最先取光所有石子的人为胜者；
- 假设双方都使用最优策略，请判断先手的人会赢还是后手的人会赢。
要求：Time Limit: 1000 MS , Memory Limit: 32768 K
思路：乍一瞅，像不像Nim博弈？不过单纯的Nim博弈无法解决它，我们要用到这一节学到的SG函数，套用上面的模版，相信大家能看明白代码~
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAX 1005
#include<cstdio>
#include<cstring>
int SG[MAX], hash[MAX];
void init(int Array[], int n)
{
int i, j;
memset(SG, 0, sizeof(SG));
for(i = 0; i <= n; i++)
{
memset(hash, 0, sizeof(hash));
for(j = 1; j <= Array[0]; j++)
{
if(i < Array[j])
break;
hash[SG[i - Array[j]]] = 1;
}
for(j = 0; j <= n; j++)
{
if(hash[j] == 0)
{
SG[i] = j;
break;
}
}
}
}
int main()
{
int m,n,p;
int fibo[30];
fibo[0]=19;
fibo[1]=1;
fibo[2]=1;
for(int i=3;i<=19;i++)
fibo[i]=fibo[i-1]+fibo[i-2];
init(fibo,1000);
//puts("lalal");
while(~scanf("%d%d%d",&m,&n,&p))
{
if(m==0&&n==0&&p==0)
return 0;
if((SG[m]^SG[n]^SG[p])==0)
printf("Nacci\n");
else
printf("Fibo\n");
}
return 0;
}
例题2.hdu 1846
题意：本游戏是一个二人游戏,有一堆石子一共有n个,两人轮流进行,每走一步可以取走1…m个石子,最先取光石子的一方为胜,如果游戏的双方使用的都是最优策略，请输出哪个人能赢。
要求：Time Limit: 1000 MS , Memory Limit: 32768 K
思路：大家看见这道题的题面一定觉得特别熟悉，没错，这道题就是巴什博奕中的例题1，在这里我们用SG函数的方法来解决这道题。在第一个模版中的注释中的第一条中我们可以看到，可选步数为~的连续整数，直接取模即可，%，所以这道巴什博奕的题我们能够直接得到SG值，从而解决它！
#include<cstdio>
#include<cstring>
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
int SG[1500];
memset(SG,0,sizeof(SG));
for(int i=1;i<=n;i++)
SG[i]=i%(m+1);
if(SG[n])
printf("first\n");
else
printf("second\n");
}
return 0;
}
例题3.hdu 1536
题意：
- 输入K表示一个集合的大小，之后输入集合表示对于这对石子只能去这个集合中的元素的个数
- 输入一个m表示接下来对于这个集合要进行m次询问
- 接下来m行 每行输入一个n，表示有n个堆，每堆有ni个石子，问这一行所表示的状态是赢还是输 如果赢输出W否则L
要求：Time Limit: 1000 MS , Memory Limit: 32768 K
思路：如果做明白了前面两个例题，大家很容易就能想到，无非是多调用几次SG函数的模版啊，年少无知的我当时也是这么想的，但是。。。超时了~所以我们要动用第二个模版啦，采用类似于“记忆化搜索”的方式，用到哪个SG值，现求就好了，求过的就存好，下一次用到直接调用，这样能省去不少时间。
超时代码：
#include<cstdio>
#include<cstring>
int SG[10005],hash[10005];
void init(int Array[],int n)
{
int i,j;
memset(SG,0,sizeof(SG));
for(i=0; i<=n; i++)
{
memset(hash,0,sizeof(hash));
for(j=1; j<=Array[0]; j++)
{
if(i<Array[j])
break;
hash[SG[i-Array[j]]]=1;
}
for(j=0; j<=n; j++)
{
if(hash[j]==0)
{
SG[i]=j;
break;
}
}
}
}
int main()
{
int snum;
while(scanf("%d",&snum))
{
if(snum==0)
return 0;
int s[10005];
memset(s,0,sizeof(s));
s[0]=snum;
for(int i=1; i<=snum; i++)
scanf("%d",&s[i]);
//init(s,10005);
int n;
scanf("%d",&n);
memset(SG,0,sizeof(SG));
for(int i=1; i<=n; i++)
{
int nn;
scanf("%d",&nn);
int sum=0;
while(nn--)
{
int nnn;
scanf("%d",&nnn);
if(SG[nnn]==0)
init(s,nnn);
sum^=SG[nnn];
}
if(sum)
printf("W");
else
printf("L");
}
printf("\n");
}
return 0;
}
正确代码：
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int sg[10005],hash[10005];
int s[100005];
int k;
int getsg(int m)
{
int hash[101]= {0};
int i;
for(i=0; i<k; i++)
{
if(m-s[i]<0)
break;
if(sg[m-s[i]]==-1)
sg[m-s[i]]=getsg(m-s[i]);
hash[sg[m-s[i]]]=1;
}
for(i=0;; i++)
if(hash[i]==0)
return i;
}
int main()
{
int snum;
while(scanf("%d",&snum))
{
k=snum;
if(snum==0)
return 0;
memset(s,0,sizeof(s));
for(int i=0; i<snum; i++)
scanf("%d",&s[i]);
sort(s,s+k);
//init(s,10005);
int n;
scanf("%d",&n);
memset(sg,-1,sizeof(sg));
for(int i=1; i<=n; i++)
{
int nn;
scanf("%d",&nn);
int sum=0;
while(nn--)
{
int nnn;
scanf("%d",&nnn);
if(sg[nnn]==-1)
sg[nnn]=getsg(nnn);
sum^=sg[nnn];
}
if(sum)
printf("W");
else
printf("L");
}
printf("\n");
}
return 0;
}