三角形

三角形的面积

三角形的面积可以由叉积直接求出。

$S_{\triangle ABC} = |\frac{1}{2} \vec{AB} \times \vec{AC}|$

判断点在三角形内

判断点$P$在三角形 ABC 内部常用的又两种方法，面积法和叉积法。

面积法

$S_{\triangle PAB} + S_{\triangle PAC} + S_{\triangle PBC} = S_{\triangle ABC}$

叉积法

利用叉积的正负号判断，如图所示，$AP$在向量$AC$的顺时针方向，$CP$在向量$BC$的顺时针方向，$BP$在向量$BC$的顺时针方向，利用这一性质推广，那么可以利用叉积的正负号来判断一个点是否在一个凸多边形内部。

三角形的重心

三角形三条中线的交点叫做三角形重心。

性质

设三角形重心为$O$，$BC$边中点为$D$，则有$AO = 2OD$。

求重心的方法

三角形重心是三点坐标的平均值。

模板代码

Pt triangleMassCenter(Pt a, Pt b, Pt c) {
    return (a+b+c) / 3.0;
}

三角形的外心

三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。

性质

外心到三顶点距离相等。过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

Pt circumCenter(Pt a, Pt b, Pt c) {
    double a1 = b.x - a.x, b1 = b.y - a.y, c1 = (a1*a1 + b1*b1) / 2.0;
    double a2 = b.x - a.x, b2 = b.y - a.y, c2 = (a1*a1 + b1*b1) / 2.0;
    double d = a1*b2 -a2*b1;
    return a + Pt(c1*b2 - c2*b1, a1*c2 - a2*c1) / d;
}

三角形的垂心

三角形三边上的三条高线交于一点，称为三角形垂心。

性质

锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外。

求法

垂心可以根据外心、重心与垂心的关系（欧拉定理）得出。

模板代码

Pt Orthocenter(Pt a, Pt b, Pt c) {
    return triangleMassCenter(a, b, c) * 3.0 - circumCenter(a, b, c) * 2.0;
}

三角形的内心

三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。

性质

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等。这个三角形叫做圆的外切三角形。